Python实战：二元期权(Binary Option)中缺口期权的解析解

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2025-07-09

什么是二元期权？

二元期权(Binary Option)也叫做数字期权，在OTC 市场中被广泛用于对冲和投机。二元期权只考虑标的资产的价格走向（看涨或者看跌），因此二元期权属于简化的金融工具。

二元期权的收益和风险是预先固定的，收益与否只由标的资产的价格是否满足预定条件决定。

缺口期权是一种同时拥有两个执行价格的期权，一个执行价格 $X_1$ 用以作为触发基准的行权价格，一旦标的资产价格大于（看涨期权）或者小于（看跌期权）便会产生损益，而损益的计算需要根据执行价格 $X_2$ ，执行价格 $X_2$ 是用以作为比较计算回报收益的行权价格。缺口期权常用于保险合约中，合约中一般会要求只有当指定风险（或者损失）达到了阈值（执行价格 $X_1$ ）才会进行赔付，而赔付的计算又是根据其他参数（类似执行价格 $X_2$ ）去完成的。

缺口期权收益结构

缺口看涨期权

当标的资产价格小于触发执行价格即 $S < X_1$ 时，缺口看涨期权的到期回报为 $0$ ，而当标的资产价格大于触发执行价格即 $S > X_1$ 时，其到期回报为标的资产与回报收益行权价格的差值即 $S-X_2$ 。

缺口看涨期权的收益结构需要根据 $X_1$ 与 $X_2$ 的大小去进行分类。当 $X_1>X_2$ 时，缺口看涨期权在X1处收益呈阶梯状，而在 $[X2 , X1]$ 这一区间内收益为 $0$ ，具体收益结构如图。

当 $X_1 < X_2$ 时，缺口看涨期权在 $[X1 , X2]$ 这一区间呈下陷状，此区间的收益也为负值，具体收益结构如图：

缺口看跌期权

当标的资产价格大于触发执行价格即 $S > X_1$ 时，缺口看跌期权的到期回报为 $0$ ，而当标的资产价格小于触发执行价格即 $S < X_1$ 时，其到期回报为回报收益行权价格和标的资产的差值 $X_2-S$ 。

缺口看跌期权的收益结构也需要根据 $X_1$ 与 $X_2$ 的大小去进行分类。当 $X_1>X_2$ 时，缺口看跌期权在区间 $[X2 , X1]$ 呈下陷状，收益为负值，具体收益结构如图：

当 $X_1<X_2$ 时，缺口看跌期权在 $X_1$ 处收益呈阶梯状，而在 $[X2 , X1]$ 这一区间内收益为 $0$ ，具体收益结构如图：

缺口期权定价公式

当 $S \leq X_1$ 时，缺口看涨期权的到期回报为 $0$ ，而当 $S > X_1$ 时，其到期回报为 $S - X_2$ 。同样地，当 $S \geq X_1$ 时，缺口看跌期权的到期回报为 $0$ ，而当 $S < X_1$ 时，其到期回报为 $X_2 - S$ 。Renier 和 Rubinstein(1991b) 提出了这些期权的定价公式：

c = S e^{(b-r)T} N(d_1) - X_2 e^{rT} N(d_2)

p = X_2 e^{rT} N(-d_2) - S e^{(b-r)T} N(-d_1)

其中

d_1 = \frac{\ln\left(\frac{S}{X_1}\right) + \left(b + \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}}

d_2 = \frac{\ln\left(\frac{S}{X_1}\right) + \left(b - \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}} = d_1 - \sigma \sqrt{T}

定价模型中的参数解释如下：

函数 $N(x)$ 为标准正态分布的累积概率分布函数。换言之，这一函数等于服从标准正态分布 $\phi(0,1)$ 的随机变量小于 $x$ 的概率。

$c$ ：缺口期权欧式看涨的价格；
$p$ ：缺口期权欧式看跌的价格；
$S$ ：标的资产在时间 0 的价格，可以视为当前标的资产价格；
$X_1$ ：执行价格，用以作为触发基准的行权价格；
$X_2$ ：到期回报执行价格，用以作为比较计算回报收益的行权价格；
$\sigma$ ：标的资产价格的波动率；
$r$ ：连续复利的无风险利率；
$T$ ：期权的期限（以年作为单位）；
$b$ ：持有成本率。

需要注意的是，缺口期权的到期回报可能为负值，这取决于 $X_1$ 和 $X_2$ 的大小。

缺口期权定价代码


## 这个模型可以用于定价标的为无股息股票、支付连续股息的股票、期货、外汇的欧式缺口期权  
function European_Gap_Option  
param CallorPut:看涨看跌期权类型，'C'表示看涨，'P'表示看跌  
param S: 标的物初始价格水平或者标的物当前价格  
param X1: 执行价格，用以作为触发基准的行权价格  
param X2:到期回报执行价格，用以作为比较计算汇报收益的行权价格  
param T: 期权的期限（一年为单位）  
param r: 连续复利的无风险利率  
param sigma: 标的物波动率  
param b: 持有成本率  
param days:计算希腊字母的年日历天数  

当b=r时，该公式是无股利欧式期权定价公式；  
当b=r-q时，该公式是连续股利欧式期权定价公式；  
当b=0时，该公式是期货期权定价公式；  
当b=0且r=0时，该公式是权利金计息下的期货期权定价公式；  
当b=r-rf时，该公式是外汇期权定价公式。

import numpy as np
from scipy import stats

def  European_Gap_Option(CallorPut='C', S=1, X1=1, X2=0.5,  T=1, r=0, sigma=0.1, b=0, days=244):
    """
    计算欧式缺口期权价格
    :param CallorPut:看涨看跌期权类型，'C'表示看涨，'P'表示看跌
    ;param S: 标的物初始价格水平或者比标的物当前价格
    :param X1: 执行价格，用以作为触发基准的行权价格
    :param X2: 到期回报执行价格，用以作为比较计算汇报收益的行权价格
    :param T: 期权的期限（一年为单位）
    :param r: 连续复利的无风险利率
    :param sigma: 标的物波动率
    :param b: 持有成本率
    
    :return value: 欧式缺口期权价格 
    """
    # 计算d1、d2
    d1 = (np.log(S /X1) + (b + 0.5 * sigma**2) * T )/(sigma * np.sqrt(T))
    d2 = (np.log(S /X1) + (b - 0.5 * sigma**2) * T )/(sigma * np.sqrt(T))
    
    # 分别计算call put的option
    if CallorPut == 'C':
        value = S * np.exp((b-r) * T)* stats.norm.cdf(d1, 0, 1) - X2 * np.exp(-r * T) * stats.norm.cdf(d2, 0, 1)
        Delta = np.exp((b-r)*T) * stats.norm.cdf(d1, 0, 1) +  np.exp((b-r)*T)* stats.norm.pdf(d1, 0, 1)/(sigma*np.sqrt(T))\
                - X2 * np.exp(-r*T) * stats.norm.pdf(d2, 0, 1)/(sigma*S*np.sqrt(T))
        Gamma = np.exp((b-r)*T) * stats.norm.pdf(d1, 0, 1)/(sigma*S*np.sqrt(T)) \
                - np.exp((b-r)*T-d1**2/2)*d1/(np.sqrt(2*np.pi)*sigma**2*S*T) \
                + X2 * np.exp(-r*T)* stats.norm.pdf(d2, 0, 1)/(sigma*S**2*np.sqrt(T)) \
                + X2 * np.exp(-r*T-d2**2/2)*d2/(np.sqrt(2*np.pi)*sigma**2*S**2*T)
        Theta = -(b-r)*S*np.exp((b-r)*T)* stats.norm.cdf(d1, 0, 1) - r*X2*np.exp(-r*T)*stats.norm.cdf(d2, 0, 1)\
                + S*np.exp((b-r)*T)*stats.norm.pdf(d1, 0, 1)*(np.log(S/X1)- (b+sigma**2/2)*T)/(2*sigma*T**1.5) \
                - X2*np.exp(-r*T)*stats.norm.pdf(d2, 0, 1)*(np.log(S/X1)- (b-sigma**2/2)*T)/(2*sigma*T**1.5)
        Theta = Theta/days
        Vega = S*np.exp((b-r)*T)*stats.norm.pdf(d1, 0, 1)*(np.sqrt(T)/2-(np.log(S/X1)+b*T)/(sigma**2*np.sqrt(T))) \
                + X2 * np.exp(-r*T)*stats.norm.pdf(d2, 0, 1)*(np.sqrt(T)/2+(np.log(S/X1)+b*T)/(sigma**2*np.sqrt(T)))
        Rho = S*np.exp((b-r)*T)*np.sqrt(T)*stats.norm.pdf(d1, 0, 1)/sigma + T*X2*np.exp(-r*T)*stats.norm.cdf(d2, 0, 1) \
                - X2*np.exp(-r*T)*np.sqrt(T)*stats.norm.pdf(d2, 0, 1)/sigma
    elif CallorPut == 'P':
        value = X2 * np.exp(-r * T) * (1 - stats.norm.cdf(d2, 0, 1)) - S * (1 - stats.norm.cdf(d1, 0, 1)) * np.exp((b-r) * T)
        Delta = np.exp((b-r)*T) * stats.norm.cdf(d1, 0, 1) +  np.exp((b-r)*T)* stats.norm.pdf(d1, 0, 1)/(sigma*np.sqrt(T))\
                - X2 * np.exp(-r*T) * stats.norm.pdf(d2, 0, 1)/(sigma*S*np.sqrt(T)) - np.exp((b-r)*T)
        Gamma = np.exp((b-r)*T) * stats.norm.pdf(d1, 0, 1)/(sigma*S*np.sqrt(T)) \
                - np.exp((b-r)*T-d1**2/2)*d1/(np.sqrt(2*np.pi)*sigma**2*S*T) \
                + X2 * np.exp(-r*T)* stats.norm.pdf(d2, 0, 1)/(sigma*S**2*np.sqrt(T)) \
                + X2 * np.exp(-r*T-d2**2/2)*d2/(np.sqrt(2*np.pi)*sigma**2*S**2*T)
        Theta = -(b-r)*S*np.exp((b-r)*T)* stats.norm.cdf(d1, 0, 1) - r*X2*np.exp(-r*T)*stats.norm.cdf(d2, 0, 1)\
                + S*np.exp((b-r)*T)*stats.norm.pdf(d1, 0, 1)*(np.log(S/X1)- (b+sigma**2/2)*T)/(2*sigma*T**1.5) \
                - X2*np.exp(-r*T)*stats.norm.pdf(d2, 0, 1)*(np.log(S/X1)- (b-sigma**2/2)*T)/(2*sigma*T**1.5) \
                + r*X2*np.exp(-r*T) + (b-r)*S*np.exp((b-r)*T)
        Theta = Theta/days
        Vega = S*np.exp((b-r)*T)*stats.norm.pdf(d1, 0, 1)*(np.sqrt(T)/2-(np.log(S/X1)+b*T)/(sigma**2*np.sqrt(T))) \
                + X2 * np.exp(-r*T)*stats.norm.pdf(d2, 0, 1)*(np.sqrt(T)/2+(np.log(S/X1)+b*T)/(sigma**2*np.sqrt(T)))
        Rho = S*np.exp((b-r)*T)*np.sqrt(T)*stats.norm.pdf(d1, 0, 1)/sigma + T*X2*np.exp(-r*T)*stats.norm.cdf(d2, 0, 1) \
                - X2*np.exp(-r*T)*np.sqrt(T)*stats.norm.pdf(d2, 0, 1)/sigma - T*X2*np.exp(-r*T)
    else:
        raise Exception('CallorPut输入参数有误')
        
    return value, Delta, Gamma, Theta, Vega, Rho

European_Gap_Option(CallorPut='C', S=50, X1=40, X2=50,  T=0.5, r=0.09, sigma=0.2, b=0.09)

输出：

(2.593844506850168,
 0.8734497794450735,
 0.036511110710742464,
 -0.02263374400583377,
 9.127777677685607,
 20.539322232701753)

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